[ML] 감마 분포 (Gamma Distribution)란?

1. 감마 분포에 대한 소개

확률 이론에서 감마 분포 (Gamma Distribution)는 연속형 확률 분포 중 하나로, 양의 실수값을 가지는 확률 변수에 적용됩니다. 감마 분포는 위험 분석, 의학 통계, 품질 관리 등에 널리 사용되며, 특히 시간에 따른 사건의 발생 횟수를 모델링하는 데 사용됩니다.

이번 글에서는 감마 분포의 수식, 특징, 파라미터 설정 방법부터 시작하여 파이썬을 이용하여 감마 분포를 시각화하고 샘플을 추출하는 실습까지 진행하겠습니다. 감마 분포 이론을 이해하고 Python 코드를 통해 실험해보면서, 감마 분포의 활용에 대해 더 깊은 이해를 가질 수 있을 것입니다.

실습 코드와 함께 설명된 예제를 통해 감마 분포를 직관적으로 이해하고, 실제 데이터에 적용하는 방법을 익힐 수 있습니다. 마지막으로, 감마 분포의 특성과 관련된 참고 자료도 함께 제공됩니다.

이제 감마 분포의 수식과 이론적 배경에 대해 알아보겠습니다.

2. 감마 분포의 수식

감마 분포는 형상 매개 변수 (shape parameter)인 k와 비율 매개 변수 (scale parameter)인 θ를 사용하여 정의됩니다. 감마 분포의 확률 밀도 함수 (probability density function, PDF)는 다음과 같은 수식으로 나타낼 수 있습니다.

여기서,

• x: 확률 변수 (양의 실수)
• k: 형상 매개 변수 (k>0)
• θ: 비율 매개 변수 (θ>0)
• Γ(k): 감마 함수 (Gamma function)

감마 함수는 다음과 같이 정의됩니다.

감마 분포의 수식을 통해 확률 변수 x가 어떻게 분포되는지 파악할 수 있습니다. 다음 단계에서는 감마 분포의 주요 특성과 특징에 대해 알아보겠습니다.

3. 감마 분포의 특징

감마 분포는 다양한 특성을 가지고 있습니다. 다음은 감마 분포의 주요 특징입니다.

3.1. 형상 매개 변수와 비율 매개 변수의 의미

감마 분포의 수식에서 형상 매개 변수 k와 비율 매개 변수 θ는 분포의 모양과 확률 분포의 너비를 제어하는 매개 변수입니다.

• 형상 매개 변수 k: k가 증가하면 감마 분포의 모양이 좌측으로 왜곡되고, k가 감소하면 우측으로 왜곡됩니다.
• 비율 매개 변수 θ: θ가 증가하면 감마 분포의 폭이 넓어지고, θ가 감소하면 분포의 폭이 좁아집니다.

3.2. 분포의 평균과 분산

감마 분포의 평균과 분산은 다음과 같이 표현됩니다.

• 평균: E(X) = k * θ
• 분산: Var(X) = k * θ^2

평균과 분산은 형상 매개 변수 k와 비율 매개 변수 θ에 의해 결정됩니다. 평균은 분포의 중심값을 나타내며, 분산은 분포의 폭을 나타냅니다.

3.3. 형상 매개 변수에 따른 분포 모양의 변화

감마 분포의 형상 매개 변수 k의 값에 따라 분포의 모양이 변화합니다. 형상 매개 변수 k가 작을 때는 분포의 모양이 우측으로 길쭉하게 늘어납니다. 반면, 형상 매개 변수 k가 클수록 분포의 모양은 좌측으로 왜곡되어 뾰족한 모습이 됩니다.

감마 분포의 특징을 알아봤으니, 다음으로는 감마 분포를 파라미터 설정하는 방법에 대해 알아보겠습니다.

감마 분포의 파라미터를 설정하는 방법은 다양한 방법이 있습니다. 주로 형상 매개 변수 k와 비율 매개 변수 θ를 사용하여 분포의 모양과 폭을 조정합니다. 이러한 파라미터 설정은 분포를 특정한 목적에 맞게 사용하기 위해 중요합니다.

4.1. 주어진 평균과 분산을 기반으로 파라미터 설정하기

감마 분포의 평균과 분산을 기반으로 파라미터를 설정하는 방법은 일반적으로 많이 사용됩니다. 평균과 분산을 알고 있다면 다음과 같은 공식을 사용하여 형상 매개 변수 k와 비율 매개 변수 θ를 계산할 수 있습니다.

• 평균 μ와 분산 σ^2을 갖는 감마 분포의 파라미터:
  • k = (μ / σ^2)^2
  • θ = σ^2 / μ

이 공식을 사용하여 주어진 평균과 분산에 해당하는 감마 분포의 파라미터를 설정할 수 있습니다.

4.2. 경험적으로 파라미터 설정하기

때로는 주어진 데이터나 실험 결과에 기반하여 감마 분포의 파라미터를 설정하는 방법이 필요할 수 있습니다. 이런 경우에는 주어진 데이터의 분포를 고려하여 형상 매개 변수 k와 비율 매개 변수 θ를 결정할 수 있습니다. 때로는 경험적으로 실험을 통해 파라미터를 조정하고, 결과를 분석하여 이를 기반으로 파라미터를 설정하는 방법을 사용하기도 합니다.

감마 분포의 파라미터를 설정하는 방법을 알아보았으니, 다음으로는 감마 분포의 확률 밀도 함수를 그리는 방법에 대해 알아보겠습니다.

5. 감마 분포의 확률밀도함수 그리기

감마 분포의 확률밀도함수는 다음과 같이 정의됩니다:

이 식에서 α (alpha)는 형상 매개 변수(shape parameter)로서 분포의 형태를 조절하며, β (beta)는 비율 매개 변수(rate parameter)로서 분포의 폭을 조절합니다. Γ (gamma)는 감마 함수(Gamma function)입니다.

파이썬에서는 scipy 라이브러리의 stats 모듈을 사용하여 감마 분포의 확률밀도함수를 그릴 수 있습니다. 다음은 감마 분포의 확률밀도함수를 그리는 예제 코드입니다:

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.stats import gamma

# 파라미터 설정
alpha = 2.0  # 형상 매개 변수
beta = 1.0  # 비율 매개 변수

# x 값 범위 설정
x = np.linspace(0, 5, 100)

# 감마 분포의 확률밀도함수 계산
pdf = gamma.pdf(x, alpha, scale=1/beta)

# 그래프 그리기
plt.plot(x, pdf, label='Gamma PDF')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('Probability Density')
plt.title('Gamma Distribution (alpha={}, beta={})'.format(alpha, beta))
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()

위 코드를 실행하면 알파 값이 2, 베타 값이 1인 감마 분포의 확률밀도함수 그래프가 나타납니다. 감마 분포의 형태와 확률밀도함수가 어떻게 변화하는지를 확인할 수 있습니다.

다음으로는 감마 분포의 누적분포함수를 그리는 방법에 대해 알아보겠습니다.

6. 감마 분포의 누적분포함수 그리기

감마 분포의 누적분포함수(cumulative distribution function, CDF)는 확률변수가 특정 값보다 작거나 같은 확률을 나타내는 함수입니다. 감마 분포의 누적분포함수는 다음과 같이 정의됩니다:

파이썬에서는 scipy 라이브러리의 stats 모듈을 사용하여 감마 분포의 누적분포함수를 계산하고 그래프를 그릴 수 있습니다. 다음은 감마 분포의 누적분포함수를 그리는 예제 코드입니다:

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.stats import gamma

# 파라미터 설정
alpha = 2.0  # 형상 매개 변수
beta = 1.0  # 비율 매개 변수

# x 값 범위 설정
x = np.linspace(0, 5, 100)

# 감마 분포의 누적분포함수 계산
cdf = gamma.cdf(x, alpha, scale=1/beta)

# 그래프 그리기
plt.plot(x, cdf, label='Gamma CDF')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('Cumulative Probability')
plt.title('Gamma Distribution CDF (alpha={}, beta={})'.format(alpha, beta))
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()

위 코드를 실행하면 알파 값이 2, 베타 값이 1인 감마 분포의 누적분포함수 그래프가 나타납니다. 감마 분포의 누적분포함수는 x 값이 증가함에 따라 점진적으로 커지는 것을 확인할 수 있습니다.

다음으로는 감마 분포로부터 샘플을 추출하는 방법에 대해 알아보겠습니다.

7. 감마 분포의 샘플 추출하기

감마 분포에서의 샘플 추출은 파이썬의 scipy 라이브러리의 stats 모듈을 사용하여 간단하게 할 수 있습니다. gamma.rvs() 함수를 이용하면 감마 분포로부터 주어진 파라미터에 따라 샘플을 추출할 수 있습니다.

다음은 알파 값이 2, 베타 값이 1인 감마 분포로부터 샘플을 추출하는 예제 코드입니다:

from scipy.stats import gamma

# 파라미터 설정
alpha = 2.0  # 형상 매개 변수
beta = 1.0  # 비율 매개 변수

# 감마 분포로부터 샘플 추출
samples = gamma.rvs(alpha, scale=1/beta, size=1000)

# 샘플 확인
print(samples)

위 코드를 실행하면 감마 분포로부터 총 1000개의 샘플이 추출되어 출력됩니다. 감마 분포의 형상 매개 변수인 알파 값과 비율 매개 변수인 베타 값에 따라 샘플의 분포가 달라질 수 있습니다.

감마 분포로부터 추출된 샘플을 이용하여 여러 가지 분석을 수행할 수 있습니다. 예를 들어, 샘플 분포의 통계적 특성을 계산하거나 다른 확률분포와의 비교를 통해 모델링 등의 작업을 수행할 수 있습니다.

다음으로는 감마 분포의 예제를 통해 실습 결과를 분석해보겠습니다.

8. 감마 분포의 예제를 통한 실습 결과 분석

이전에 작성한 코드를 기반으로 감마 분포의 예제를 통해 실습 결과를 분석해보겠습니다. 예를 들어, 형상 매개 변수인 알파 값을 바꾸고, 샘플 개수를 늘려가며 다양한 파라미터 조합에 대한 결과를 확인해볼 수 있습니다.

import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.stats import gamma

# 파라미터 설정
alpha_values = [1, 2, 5, 10]
beta = 1.0

# 샘플 추출 및 분석
for alpha in alpha_values:
    # 감마 분포로부터 샘플 추출
    samples = gamma.rvs(alpha, scale=1/beta, size=1000)

    # 샘플 분포 시각화
    plt.hist(samples, bins=50, density=True, alpha=0.5, label=f'alpha={alpha}')
    plt.xlabel('Value')
    plt.ylabel('Density')
    plt.legend()

plt.show()

위 코드를 실행하면 형상 매개 변수인 알파 값을 1, 2, 5, 10으로 각각 설정하고 1000개의 샘플을 추출한 후, 샘플 분포를 시각화하여 확인할 수 있습니다. 여기서는 간단히 히스토그램을 이용해 샘플 분포를 나타냈습니다.

실행 결과를 확인해보면, 형상 매개 변수인 알파 값이 증가함에 따라 분포가 오른쪽으로 왜곡되는 형태를 확인할 수 있습니다. 이는 감마 분포의 특징 중 하나로, 알파 값의 증가는 분포의 오른쪽 꼬리를 더 늘리는 효과를 가지게 됩니다.

이러한 분석 결과를 바탕으로 감마 분포의 파라미터 설정이나 다른 확률분포와의 비교를 통해 적합한 모델을 선택하고 사용할 수 있습니다.

마지막으로, 감마 분포와 관련된 참고 자료를 제공합니다.

9. 마무리 및 참고 자료

이번 블로그에서는 감마 분포에 대해 소개하고, 수식과 특징, 파라미터 설정하기, 확률밀도함수/누적분포함수 그리기, 샘플 추출하기 등을 다루는 예제를 통해 보다 실질적인 분석 방법을 알아보았습니다.

감마 분포는 실제 데이터를 모델링하고 분석하는 데에 널리 사용되는 확률 분포 중 하나입니다. 주로 양수 값의 분포를 나타낼 때 사용되며, 형상 매개 변수와 비율 매개 변수를 조정함으로써 다양한 모양의 분포를 만들 수 있습니다.

본 블로그에서 제공한 예제와 코드를 통해 감마 분포의 이해도를 높이고, 실습 결과를 분석함으로써 감마 분포를 활용하는 데 도움이 되었기를 바랍니다.

아래는 감마 분포와 관련된 참고 자료입니다:

• Scipy Documentation: Gamma Distribution
• Wikipedia: Gamma Distribution

감마 분포에 대한 더 많은 이해와 응용을 위해 위의 참고 자료를 참고하시기 바랍니다. 감마 분포를 이용한 분석이나 모델링에 대해 더 깊이 공부하면 실제 데이터에 대한 인사이트를 얻을 수 있을 것입니다.

이로써 감마 분포에 대한 블로그 시리즈를 마치도록 하겠습니다. 감마 분포를 이해하고 활용함으로써 데이터 분석 능력을 향상시키길 바랍니다. 감사합니다.

 

본 블로그 글은 G-ChatBot 서비스를 이용하여 AI(ChatGPT) 도움을 받아 작성하였습니다.

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