[ML] 이항 분포(Binomial Distribution)란?

1. 이항 분포란?

이항 분포는 주어진 횟수(n)만큼의 독립적인 시행을 수행할 때, 각 시행이 성공 혹은 실패로 나뉠 때 사용되는 확률 분포입니다. 각 시행마다 성공 확률이 p이며, 실패 확률은 1-p라고 가정합니다.

예를 들어, 동전 던지기를 10번 시행한다고 가정해봅시다. 각 시행마다 앞면이 나올 확률은 0.5이며, 뒷면이 나올 확률은 0.5입니다. 이 때 성공은 앞면이, 실패는 뒷면이라고 정의할 수 있습니다. 이 경우 이항 분포를 사용하여 동전이 앞면이 나올 횟수에 대한 확률을 계산할 수 있습니다.

이항 분포는 성공 확률(p), 시행 횟수(n), 성공 횟수(k)에 따라 다음과 같이 확률 함수로 정의됩니다:

P(X = k) = nCk * p^k * (1-p)^(n-k)

여기서 nCk는 n개 중에서 k개를 선택하는 조합의 개수를 의미합니다. 이항 분포는 주로 성공, 실패의 확률을 모델링하는데 사용되며, 예측 모델링, 통계 분석 등에 널리 사용됩니다.

2. 이항 분포의 확률 함수

이항 분포의 확률 함수는 각 시행마다 성공 확률 p와 실패 확률 1-p가 주어졌을 때, 특정 시행 횟수 n에서 성공 횟수 k를 가지는 확률을 나타냅니다. 이항 분포의 확률 함수는 다음과 같이 정의됩니다:

P(X = k) = nCk * p^k * (1-p)^(n-k)

여기서 nCk는 n개 중에서 k개를 선택하는 조합의 개수를 나타내며, 이는 다음과 같이 계산됩니다:

nCk = n! / (k! * (n-k)!)

이항 분포의 확률 함수를 이용하여 성공 횟수에 대한 확률을 계산할 수 있습니다. 이제 실제로 이항 분포를 이용하여 실험 예제를 작성해보도록 하겠습니다.

3. 이항 분포를 이용한 실험 예제 작성

이항 분포를 이용하여 실험을 할 때, 성공 확률 p와 시행 횟수 n을 적절히 설정해야 합니다. 예를 들어, 동전 던지기 실험을 통해 앞면이 나오는 횟수를 조사한다고 가정해봅시다. 이때, 성공 확률 p는 앞면이 나올 확률로 설정할 수 있습니다.

아래는 Python 코드로 동전 던지기 실험을 통해 앞면이 나오는 횟수를 조사하는 예제입니다:

import numpy as np

def coin_toss_experiment(n, p):
    successes = np.random.binomial(n, p)
    return successes

n = 10  # 시행 횟수
p = 0.5  # 성공 확률

result = coin_toss_experiment(n, p)
print("앞면이 나온 횟수:", result)

위의 코드에서 coin_toss_experiment 함수는 시행 횟수 n과 성공 확률 p를 입력으로 받아 이항 분포를 따른 성공 횟수를 반환합니다. result 변수에는 동전 던지기 실험에서 앞면이 나온 횟수가 저장되어 출력됩니다.

다음으로는 실험 결과를 시각화하여 살펴보는 방법에 대해 알아보도록 하겠습니다.

4. 실험 결과 시각화하기

이항 분포 실험의 결과를 시각화하여 살펴보는 것은 결과의 분포를 더 쉽게 이해할 수 있도록 도와줍니다. matplotlib 라이브러리를 사용하여 결과를 시각화할 수 있습니다. 아래는 동전 던지기 실험 결과를 히스토그램으로 시각화하는 예제입니다:

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def coin_toss_experiment(n, p):
    successes = np.random.binomial(n, p)
    return successes

n = 100  # 시행 횟수
p = 0.5  # 성공 확률

results = []
num_experiments = 1000  # 실험 횟수

for _ in range(num_experiments):
    result = coin_toss_experiment(n, p)
    results.append(result)

plt.hist(results, bins=range(n+2), align='left', rwidth=0.8)
plt.xlabel('앞면 횟수')
plt.ylabel('빈도')
plt.title('동전 던지기 실험 결과')
plt.show()

위의 코드에서는 results라는 리스트를 생성하여 num_experiments만큼의 실험을 수행하고, 각 실험 결과를 리스트에 추가합니다. 그 후, plt.hist 함수를 사용하여 results의 분포를 히스토그램으로 그립니다. bins 인자는 히스토그램의 막대 개수를 설정하며, align과 rwidth 인자는 막대의 정렬과 너비를 조절하는 데 사용됩니다. 마지막으로 xlabel, ylabel, title 함수를 사용하여 축의 라벨과 그래프 제목을 설정합니다.

실행 결과로는 동전 던지기 실험 결과의 분포를 나타낸 히스토그램이 표시될 것입니다. 이를 통해 앞면이 나오는 횟수의 분포를 쉽게 파악할 수 있습니다.

다음으로는 실험 결과를 분석하고 결론을 도출하는 방법에 대해 알아보도록 하겠습니다.

5. 결론

이항 분포란 이진 결과를 가지는 실험에서 성공 확률이 일정한 확률 분포를 의미합니다. 이항 분포의 확률 함수를 이용하여 실험 결과를 예측하고, 실험을 통해 얻은 결과를 시각화하여 분포를 분석할 수 있습니다.

이 블로그에서는 이항 분포의 개념과 확률 함수에 대해 알아보았으며, 실제로 이항 분포를 이용한 실험 예제를 작성하고 결과를 시각화하는 방법을 배웠습니다. 동전 던지기를 예로 들어 동전 앞면이 나올 확률이 0.5인 경우, 실험을 통해 동전 앞면이 나오는 횟수를 예측하고 결과를 시각화하였습니다.

이렇게 시각화된 결과를 통해 이항 분포의 확률 분포를 쉽게 파악할 수 있습니다. 이를 통해 실험 결과를 분석하고, 결과에 대한 결론을 도출할 수 있습니다. 이항 분포를 이용한 실험은 확률 모형을 검증하고 현상을 설명하기 위한 중요한 도구입니다.

이항 분포를 이용한 실험 예제를 작성하고 결과를 시각화하는 방법을 익히셨다면, 다른 확률 분포에 대해서도 유사한 방식으로 실험을 수행해 볼 수 있습니다. 이를 통해 다양한 현상을 분석하고 예측하는 데 도움을 얻을 수 있을 것입니다.

마지막으로, 이항 분포와 같은 확률 분포를 이용하여 실험을 수행할 때는 적절한 실험 설계와 충분한 표본 수를 고려해야 합니다. 이를 통해 좀 더 정확하고 신뢰할 수 있는 결과를 얻을 수 있을 것입니다.

이항 분포를 이해하고 활용하는 것은 확률 이론을 이해하는 데 중요한 지식입니다. 다양한 확률 분포에 대한 학습을 통해 현실 세계의 다양한 현상을 모델링하고 예측하는 능력을 향상시킬 수 있을 것입니다.

본 블로그 글은 G-ChatBot 서비스를 이용하여 AI(ChatGPT) 도움을 받아 작성하였습니다.

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