[ML] 포아송 분포 (Poisson Distribution)란?

1. 포아송 분포란?

포아송 분포는 불연속 확률 분포로서, 사건이 발생하는 횟수가 주어진 시간이나 공간에서 독립적으로 발생할 때 사용되는 확률 분포입니다. 예를 들어, 단위 시간당 도착하는 고객 수, 단위 면적당 결함 발생 횟수 등의 경우에 포아송 분포가 적용될 수 있습니다.

포아송 분포는 주로 이산 확률 분포로 고객 서비스, 품질 관리, 통신 등 다양한 분야에서 활용됩니다. 이러한 분야에서 사건 발생의 비율 또는 평균 발생 횟수를 예측하는 데 사용할 수 있습니다.

포아송 분포는 비유하자면, 동전 던지기에서 앞면이 나오는 확률이 항상 0.5인 것처럼, 일정한 평균 발생 횟수를 가진 사건들이 독립적으로 발생하는 상황을 모델링하는 분포라고 할 수 있습니다.

포아송 분포의 특징은 다음과 같습니다:

• 평균 발생 횟수인 λ(lambda)에 의해 모양이 결정됩니다.
• 단위 시간 또는 공간에서 동시에 여러 사건이 발생할 수 있는 경우에 적용됩니다.
• 사건이 발생하는 간격은 독립적입니다.
• 사건 발생의 확률은 시간 간격 또는 공간의 크기에 비례합니다.

다음으로, 포아송 분포의 수식과 특성에 대해 자세히 알아보겠습니다.

2. 포아송 분포의 수식과 특성

포아송 분포는 평균 발생 횟수인 λ(lambda)에 의해 모양이 결정되는 확률 분포입니다. 포아송 분포는 다음과 같은 수식으로 표현됩니다.

P(X = k) = (e^(-λ) * λ^k) / k!

여기서, X는 사건이 발생하는 횟수를 의미하며, k는 발생한 사건의 횟수를 나타냅니다. e는 자연상수(2.71828...)를 의미하며, k!는 k의 계승을 나타냅니다.

포아송 분포의 특성은 다음과 같습니다:

1. 평균과 분산
   포아송 분포의 평균(μ)과 분산(σ^2)은 모두 λ입니다. 따라서, 평균 발생 횟수인 λ는 분포의 모양과 분산을 제어하는 중요한 파라미터입니다.
2. 독립적 사건
   포아송 분포에서 발생하는 사건들은 독립적입니다. 즉, 한 번의 발생이 다른 사건들에게 영향을 주지 않으며, 각 사건 간의 독립성을 가지고 있습니다.
3. 연속성
   포아송 분포의 값을 연속적으로 증가시키는 것은 무의미합니다. 예를 들어, 단위 시간당 도착하는 고객 수가 2명인 경우, 2명 보다 많은 고객이 도착할 확률은 거의 0에 수렴하며, 음수 발생 횟수는 존재하지 않습니다.

다음으로, 포아송 분포의 확률 질량 함수(PMF)에 대해 알아보겠습니다.

3. 포아송 분포의 확률질량함수 (PMF)

포아송 분포의 확률질량함수(PMF)는 X가 특정 값을 가질 확률을 나타내는 함수입니다. 포아송 분포의 PMF는 다음과 같이 정의됩니다:

P(X = k) = (e^(-λ) * λ^k) / k!

여기서, X는 사건이 발생하는 횟수를 의미하며, k는 발생한 사건의 횟수를 나타냅니다. e는 자연상수(2.71828...)를 의미하며, k!는 k의 계승을 나타냅니다.

포아송 분포의 PMF에 따르면, X가 정수 값(0, 1, 2, ...)을 가진다는 가정 하에 특정 값 k가 나올 확률을 계산할 수 있습니다. 평균 발생 횟수인 λ에 따라 확률분포의 모양이 결정되며, λ가 커질수록 분포의 꼬리 부분이 더 큰 값을 가지는 형태가 됩니다.

다음으로, 포아송 분포의 누적분포함수(CDF)에 대해 알아보겠습니다.

4. 포아송 분포의 누적분포함수 (CDF)

포아송 분포의 누적분포함수(CDF)는 주어진 값보다 작거나 같은 사건이 발생할 확률을 나타내는 함수입니다. 포아송 분포의 CDF는 다음과 같이 정의됩니다:

F(x; λ) = P(X ≤ x) = ∑[k=0 to x] (e^(-λ) * λ^k) / k!

여기서, X는 사건이 발생하는 횟수를 의미하며, λ는 평균 발생 횟수를 나타냅니다. x는 특정 값을 의미하며, 이 값보다 작거나 같은 사건이 발생할 확률을 계산합니다. e는 자연상수(2.71828...)를 의미하며, k!는 k의 계승을 나타냅니다.

포아송 분포의 CDF는 이산적인 확률값을 모두 더해서 계산됩니다. 따라서, CDF는 x가 음수 또는 0일 때는 0이고, x가 양수일 때부터 지수 함수(e^(-λ))와 λ^k, k!의 합으로 계산됩니다.

포아송 분포의 CDF를 이용하면, 특정 값보다 작거나 같은 사건이 발생할 확률을 계산할 수 있습니다. 이제, 포아송 분포의 활용 예시에 대해 알아보겠습니다.

5. 포아송 분포의 활용 예시

포아송 분포는 다양한 상황에서 활용될 수 있습니다. 이번 섹션에서는 고객 도착 확률 예측과 결함 발생 횟수 예측에 대해 포아송 분포를 활용하는 예시를 살펴보겠습니다.

5.1. 고객 도착 확률 예측

예를 들어, 한 식당에서 손님들이 도착하는 비율을 알고 싶다고 가정해봅시다. 이 때 포아송 분포를 사용하여 도착한 손님 수를 예측할 수 있습니다. 예를 들어, 평균 10명의 손님이 한 시간에 도착한다고 가정한다면, 포아송 분포를 통해 특정 시간 동안 도착한 손님 수의 분포를 예측할 수 있습니다.

5.2. 결함 발생 횟수 예측

기계 또는 제품의 결함 발생 횟수를 예측하는 경우에도 포아송 분포를 활용할 수 있습니다. 예를 들어, 한 제조 공장에서 시간당 평균 2회의 결함이 발생한다고 가정한다면, 포아송 분포를 통해 특정 시간 동안 발생한 결함 수의 분포를 예측할 수 있습니다.

포아송 분포를 이용하여 다양한 예측을 할 수 있으며, 이를 통해 효율적인 운영 및 리스크 관리를 할 수 있습니다. 다음으로, 포아송 분포의 파라미터 추정에 대해서 알아보겠습니다.

6. 포아송 분포의 파라미터 추정

포아송 분포의 주요 파라미터는 평균 도착 횟수(λ)입니다. 이 파라미터를 추정하기 위해 사용하는 일반적인 방법은 주어진 데이터의 평균을 구하는 것입니다. 따라서, 데이터셋에서 발생한 사건의 평균은 λ의 추정값으로 사용될 수 있습니다.

예를 들어, 한 식당에서 과거 10일 동안 매일 도착한 고객 수를 기록하였다고 가정해봅시다. 이 데이터를 바탕으로 평균 도착 횟수를 추정할 수 있습니다. 예를 들어, 10일 동안 총 100명의 고객이 도착했을 경우, 평균 도착 횟수는 100/10 = 10명으로 추정할 수 있습니다.

파라미터 추정은 주어진 데이터에 의존하므로, 데이터의 크기와 분포의 특성에 따라 추정 결과가 달라질 수 있습니다. 또한, 데이터셋이 크지 않을 경우 파라미터 추정의 정확성에도 제한이 있을 수 있습니다.

다음으로, 파이썬을 이용한 포아송 분포 예제에 대해 살펴보도록 하겠습니다.

7. 파이썬을 이용한 포아송 분포 예제

이제 파이썬을 사용하여 포아송 분포를 실험해보도록 하겠습니다. 포아송 분포를 생성하고 시각화하여 분포의 형태를 확인하고, 확률을 계산하는 방법을 알아보겠습니다.

7.1. 파이썬 라이브러리 설치

우선, 포아송 분포를 다루기 위해 필요한 파이썬 패키지인 scipy를 설치해야 합니다. 아래 명령을 사용하여 scipy를 설치할 수 있습니다.

pip install scipy

7.2. 포아송 분포 생성 및 시각화

먼저, scipy 패키지의 poisson 모듈을 import하여 포아송 분포를 생성할 수 있습니다. 아래는 평균 도착 횟수가 5인 포아송 분포를 생성하는 예제입니다.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.stats import poisson

mu = 5  # 평균 도착 횟수

# 포아송 분포 생성
poisson_dist = poisson(mu=mu)

# 표본 생성
samples = poisson_dist.rvs(size=1000)

# 분포 시각화
plt.hist(samples, bins=np.arange(0, 20, 1), density=True, alpha=0.7)
plt.xlabel('도착 횟수')
plt.ylabel('확률 밀도')
plt.title('Poisson Distribution (λ=5)')
plt.show()

위 코드를 실행하면, 평균 도착 횟수가 5인 포아송 분포를 생성하고, 1000개의 표본을 생성하여 시각화합니다. 이를 통해 도착 횟수가 평균값 주변에 몰려있는 것을 확인할 수 있습니다.

7.3. 포아송 분포와 관련된 확률 계산

scipy의 poisson 모듈을 사용하면, 특정 사건이 발생할 확률을 계산할 수 있습니다. 다음은 평균 도착 횟수가 5인 경우, 3명의 고객이 도착할 확률을 계산하는 예제입니다.

prob = poisson_dist.pmf(3)
print(f"3명의 도착 확률: {prob}")

위 코드를 실행하면, 3명의 도착 확률을 계산하여 출력합니다.

7.4. 실제 데이터 적용 예제

데이터 분석에서는 주어진 실제 데이터에 대해 포아송 분포를 적용하여 예측을 수행할 수 있습니다. 예를 들어, 한 온라인 쇼핑몰에서 1분당 고객의 주문 횟수를 기록하였고, 이 데이터를 바탕으로 평균 주문 횟수를 추정하고자 한다면, 다음과 같은 방법을 사용할 수 있습니다.

# 주문 횟수 데이터
orders = [3, 2, 0, 4, 5, 1, 2, 3, 4]

# 평균 주문 횟수 추정
lambda_est = np.mean(orders)

# 추정된 평균을 사용하여 포아송 분포 생성
poisson_dist = poisson(mu=lambda_est)

위 예시에서는 주문 횟수 데이터를 바탕으로 평균 주문 횟수를 추정하고, 추정된 평균 값을 사용하여 포아송 분포를 생성합니다.

이제 포아송 분포에 대해 알아보았으니, 마지막으로 결론을 정리해보도록 하겠습니다.

8. 결론

이번 블로그에서는 포아송 분포에 대해 알아보았습니다. 포아송 분포는 사건이 일어날 횟수를 모델링하는 확률 분포로, 이산 확률 분포의 하나입니다. 주요 특징은 사건이 독립적으로 발생하며, 사건이 발생하는 평균 횟수가 고정되어 있다는 것입니다.

포아송 분포의 수식, 확률질량함수(PMF)와 누적분포함수(CDF), 그리고 활용 예시들을 살펴보았습니다. 또한 파이썬을 이용하여 포아송 분포를 생성하고 시각화하며, 확률을 계산하는 방법에 대해서도 알아보았습니다. 마지막으로 포아송 분포의 파라미터 추정에 대해서도 다루었습니다.

포아송 분포는 다양한 분야에서 사용되며, 주로 사건의 도착 여부나 발생 횟수를 예측하는데 활용됩니다. 예를 들어, 고객 도착 횟수 예측이나 결함 발생 횟수 예측 등에서 사용될 수 있습니다.

데이터 분석을 수행하는데 있어 포아송 분포는 유용한 도구입니다. 이를 통해 데이터를 분석하고 예측할 수 있으며, 이를 통해 의사결정에 도움을 줄 수 있습니다.

포아송 분포에 대한 이해는 다양한 문제 해결에 큰 도움을 줄 수 있으므로, 데이터 분석이나 확률론에 관심 있는 사람들에게 유용한 지식이 될 것입니다.

이로써 포아송 분포에 대한 블로그 작성을 마치도록 하겠습니다.

 

본 블로그 글은 G-ChatBot 서비스를 이용하여 AI(ChatGPT) 도움을 받아 작성하였습니다.

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